Rambler's Top100

Разбор датировки звездного каталога Альмагест М.Л. Городецкого.

Содержание
Результат датировки М.Л. Городецкого
Замечания об отборе звезд
Проверка расчетов
Несколько замечаний об "античном" Арктуре
Заключение
Литература

 

Результат датировки М.Л. Городецкого

Предметом изучения является статья М.Л. Городецкого "Звездные войны с историей" [1], посвященная датировке звездного каталога Альмагест. В этой работе, сначала, опровергаются результаты Калашникова-Носовского-Фоменко далее (КНФ) [2], а затем, с помощью метода широтных невязок, автор вычисляет свою собственную датировку, из которой следует, что звездный каталог был составлен во времена Гиппарха в -2 веке. Помимо интернета, эта статья была опубликована книге "Астрономия против Новой Хронологии", (Москва, "Русская панорама", 2001) и на нее неоднократно ссылается в своих трудах астроном Ю.Н. Ефремов.

М.Л. Городецкий утверждает, что пользуясь методом широтных невязок для выборки из 119 самых быстрых звезд каталога, он получил датировку: T=-99 ±197. Ввиду отсутствия информации о составе выборки, датировке и погрешности полученной на каждой из звезд, нет возможности проверить правильность вычисления этой датировки.
Однако нам ничего не мешает проверить датировку по 13 самым быстрым звездам каталога, которая подробно описана в работе. Составленная М.Л. Городецким выборка включает 11 звезд, которые относятся к северным, то есть, имеют в Альмагесте положительные широты, и две звезды с отрицательными широтами, которые относятся к зодиакальным (36 Oph и 61 Vir).

Автор вычисляет датировки для каждой из звезд по методу широтных невязок. Выпишем итоговую таблицу с датировками и погрешностями по отдельным звездам.

 № Байли  Флемстид  Датировка, год  Погрешность, год
 19 q UMa  -513  1249
 32  x UMa  -1289  1476
 110  a Boo  759  476
 125  m Her  -174  1417
 146 c Her  95  1413
 180  h Cas  -1193  1011
 196  i Per  -3714  2107
 247  36 Oph  -734  923
 261  70 Oph  -8  993
 265  g Ser  190  941
 279  h Ser  649  1591
 360  d Tri  -769  1667
 527  61 Vir  -505  770

Для вычисления финальной датировки каталога, используется фильтрующая функция, которая позволяет приписать вес к дате каждой звезды пропорционально ее скорости.

В результате автор получил датировку: T=-85 +/-270, откуда сделал вывод, что звездный каталог был составлен не во времена Птолемея, а даже раньше, предполагаемым автором каталога является Гиппарх.

Проведем самую элементарную проверку полученного результата. Сначала, проверим вычисленную датировку на устойчивость. Казалось бы, исключение всего одной звезды из выборки состоящей из 13 звезд, не должно значительно изменить конечный результат. Но в данном случае это не так. Предложенная датировка существенно зависит от одной звезды - Арктура (a Boo). При его исключении из выборки центр датировки сместится в -5 век (-490 год). При заявленной погрешности в 270 лет в 1 сигму не попадает даже Гиппарх. К тому же, смещение центра аж на 4 (!) века заставляет задуматься о наличии каких-то ошибок.

Звезды 180, 360, и 196 имеют в каталоге долготы 13, 16 и 32 градуса, то есть, располагаются примерно в одном секторе по долготе. Посмотрим какие индивидуальные датировки получаются по этим звездам относительно вычисленной даты составления каталога. Оказывается, то ВСЕ три датировки смещены в античность. Вообще говоря, вероятность такого события составляет 12.5%, но если датировка по звезде 360 получается древнее вычисленной даты каталога и находится в пределах погрешности, то датировки по звездам 180 и 196 смещены в античность более интервала в 1 сигму. Вероятность такого события для каждой звезды составляет 16 процентов. Можно оценить, что вероятность получения такого набора датировок окажется менее 2%. Датировка каталога по этим трем звездам приходится на середину -15 века, что при погрешности датировки в 800 лет все же попадает к дате составления каталога при ширине доверительного диапазона в 2 сигмы.
Наиболее простым и логичным объяснением наблюдаемых эффектов будет предположение о том, что систематическая ошибка на этих долготах была компенсирована не верно. Попробуем найти возможные ошибки, которые допустил автор, проделав всю цепочку рассуждений.

 

Замечания об отборе звезд

М.Л. Городецкий формулирует в адрес КНФ множество замечаний, однако при ближайшем же рассмотрении, большая часть излагаемой критики является совершенно необоснованной.

Манипуляция I: КНФ игнорируют Гиады (Альдебаран, напомню, Птолемей явно называет как опорную при наблюдении планет) и Козлят, оставив Козу и самого слабенького северного Осленка, не замечаются именные Волосы и Ясли. Итак, осталось 12.

Необходимость использования в информационном ядре слабых Гиад №390, №391, №392, №394 и Козлят №227 и №228 крайне непонятна, поскольку они находятся рядом с Альдебараном и Капеллой, а использование нескольких опорных звезд в одной области неба радиусом в несколько градусов не имеет смысла. Капеллу в качестве опорной звезды КНФ используют, Альдебаран исключен, поскольку разброс широтнах ошибок в Тельце относительно велик, широта самого Альдебарана значительно отличается от средней ошибки окрестности, которая в этом созвездии относительно велика. В качестве сравнения, приведем величину ошибок в созвездиях Тельца и Льва, рис.1, рис.2.

Рис.1 Широтные ошибки в созвездии Тельца.

Рис.2 Широтные ошибки в созвездии Льва.

Из именных звезд Волос Вероники, только звезда каталога №495 идентифицируется более менее надежно со звездой BSC 4640, а широтная ошибка этой звезды отличается от широтной ошибки Zod A примерно на полградуса. Идентификация оставшихся двух звезд вызывает значительные затруднения. Так звезда №494 отождествляется с BSC 4680, которая имеет вне атмосферный блеск в видимых лучах 6.23m. Учет влияния атмосферы и поправка на ночное зрение обеспечат дополнительное ослабление блеска около 0.35m, что делает возможность не телескопического наблюдения этой звезды фантастичной. Заметим, что звезда BSC 4680 относится к белым гигантам, поэтому объяснить недостачу блеска возможной переменностью звезды представляется невероятной. Если не считать эруптивных звезд типа γ Кассиопеи белые гиганты обычно относятся к типам α Лебедя или β Цефея, для которых характерны очень малые колебания блеска. Однако, переменности звезды BSC 4680 в настоящее время не обнаружено. Но даже, если закрыть глаза на невозможность наблюдения этой звезды, ошибка по каждой из координат относительно групповой ошибки зоны "А" составит около градуса. Других адекватных кандидатов на отождествление этой звезды у нас нет, если не допускать еще большие ошибки в координатах.
Ситуация со звездой №496 анекдотична. Она отождествляется Петерсом со звездой BSC 4789, а имея ошибку в широте в 1 градус, и ошибку в долготе в 2 градуса и расположена среди группы слабых звездочек. С тем же успехом можно дать отождествление BSC 4753 или BSC 4766. Отнесение этих звезд к базисным звездам было бы полным абсурдом.

Столь же неуместным выглядит замечание М.Л. Городецкого о Яслях (№449). Ясли или звезда ε Рака по Байеру представляет собой рассеянное звездное скопление, которому Мессье присвоил 44-ый номер в своем каталоге туманных объектов. В отличие от точечного объекта звезды, рассеянное скопление имеет протяженность. Видимые угловые размеры Яслей составляют около 7', что соответствует точности наведения на объект, поэтому предложение использовать М44 в качестве "опорной" звезды представляется очень странным.

Манипуляция II: КНФ обращаются к уже обсуждавшейся таблице [Таблица 6.6]. На основании того, что найденная общая систематическая ошибка для окружения «cамой яркой из всех звезд, называемой Псом» — Сириуса и Орла-Альтаира резко отличается от реальной, звезды безжалостно отбрасываются. Непонятно только какое отношение должны иметь ошибки звезд окружения к самим опорным звездам.

Для того, чтобы разобраться с исключением Альтаира и Сириуса, выпишем групповые ошибки в этих созвездиях и сравним с ошибками созвездий, находящихся на той же долготе, предварительно исключив промахи. Групповая широтная ошибка созвездия Орла составляет около +2', а индивидуальная ошибка Альтаира +13'. Конечно же, только на этом основании, исключать из рассмотрения Альтаир нельзя. Однако, можно сравнить эти ошибки с групповыми ошибками в созвездиях Лиры и Стрельца, которые находятся на той же долготе, что и Орел. Групповая ошибка в Лире составляет около -11', а Стрельце около -13'. Это значит, что созвездие Орла и Альтаир имеют собственную групповую ошибку, которая отличается от единой ошибки в зоне "A".
То же самое касается исключения созвездия Большого Пса. Групповая широтная ошибка в этом созвездии составляет около -14' минут, индивидуальная ошибка Сириуса -2', а групповая широтная зодиакального созвездия Близнецов, входящего в область "A" равна примерно +19'. Следовательно, созвездие Большого Пса и Сириус, имеют собственные индивидуальные ошибки, отличные от ошибки в зоне "А".
Итак, простая проверка показала, что созвездие Орла и Большого Пса имеют индивидуальные групповые ошибки, которые не соответствуют ошибке в зоне "А". Включение этих созвездий приведет к подмене датировки определенной по собственному движению звезд на датировку групповых ошибок в созвездиях.

Манипуляция III (скрытая): В указанной в предыдущем пункте Таблице 6.6 отсутствует Процион. КНФ утверждают, что не включили его в таблицу из-за малочисленности его окружения. Но ведь отказ его рассматривать еще не означает, что ситуация с ним обстоит лучше чем с предыдущими двумя. Мои оценки показывают, что он, следуя логике КНФ тоже должен быть отброшен.

Никаких расчетов М.Л. Городецкий не приводит, поэтому придется провести оценку самостоятельно. На 130 год широтная ошибка Проциона составляет +31', а ошибка единственной медленной звезды сравнения, принадлежащей созвездию Малого Пса (β CMi) равна +18'. Созвездие Малого Пса расположено под зодиакальным созвездием Близнецов широтная ошибка которого составляет +19'. Хотя созвездие Малого Пса представлено в Альмагесте только двумя звездами, групповая ошибка в созвездии соответствует групповой ошибке в Близнецах, входящих в зону "А". Поэтому, добавление созвездия Малого Пса в зону "А" является обоснованным.

Манипуляция IV: На основании принадлежности к «плохой» зоне D выкидывается Канопус. Но ведь Процион тоже из «плохой зоны» C. Никакие ссылки на близость к эклиптике не проходят — если звезда измерялась также как и остальные в группе, у нее будут такие же ошибки, если же нет, то не имеют смысла предыдущие манипуляции. Впрочем, о Канопусе говорить как об опорной просто смешно — его широта -75 градусов и виден он был очень низко над горизонтом всего несколько зимних месяцев.

М.Л. Городецкий в очередной раз игнорирует полностью обоснованное КНФ разбиение неба на зоны по групповым ошибкам. Ошибка окрестности и малоподвижного Канопуса не соответствует ошибке в зоне "А" и кроме того, Канопус поднимается над горизонтом Александрии примерно на 5 градусов, поэтому нет никакого смысла использовать эту звезду в качестве опорной, хотя она является именной и яркой.

Манипуляция V: «Хороший» Виндемиатрикс выкидывается потому, что в его широте присутствует в вариантах очевидная описка — вместо 15 1/6, 16 градусов.

КНФ четко сообщили, что исключили из рассмотрения все не надежно идентифицируемые звезды, а так же звезды, в координатах которых есть разночтения. В широте Виндемиатрикса есть разночтения, поэтому он был исключен.

КНФ даже не замечают, что последовательно выкидывая «именные» звезды на основании «плохости» зоны или окружения они полностью противоречат своей гипотезе (и опровергают ее, если посчитать погрешности изгоев), что «именные» звезды, а не зоны Птолемей измерял особенно тщательно.
Попутно рушится и тезис, что синусная кривая систематической ошибки описывает все погрешности каталога.

Этот "тезис" был выдуман лично М.Л. Городецким, поскольку КНФ не заявляли, что синусная кривая систематической ошибки может описать все погрешности каталога. Именно по этой причине им приходится разбить каталог на зоны с разной систематикой. Ситуация обстоит с точностью до наоборот. Как мы увидим ниже, это М.Л. Городецкий полагает, что все систематические ошибки можно компенсировать с помощью синусоиды.

Вега совершенно непригодна для использования в качестве опорной (ее широта 62 градуса), великовата широта у Капеллы, Аселли слишком тусклая. Если не учитывать бесполезную Вегу (если учитывать, ситуация сильно не меняется), окажется, что оставшееся «информационное ядро» покрывает лишь 150 градусов по долготе. Как в этом случае Птолемей измерял звезды весеннего неба остается загадкой.

Начнем с того, что с измерением координат звезд весеннего неба как раз проблем никаких не возникает, поскольку информационное ядро КНФ в основном и состоит из звезд весеннего неба.
Во-вторых, М.Л. Городецкий снова передергивает и подменяет суть вопроса. КНФ нигде не утверждали, что для составления каталога были использованы в качестве опорных только выделенные ими 8 звезд, поэтому замечание о недостаточной протяженности информационного ядра выглядит надуманным. Точно выделить все опорные звезды каталога не представляется возможным, но мы можем предположить, что в качестве опорной был использован яркий Альдебаран, который расположен рядом с эклиптикой. Кроме того, Альдебаран использовался в наблюдениях в качестве опорной для описания положений планет. Из оставшихся ярких звезд, расположенных недалеко от эклиптики можно выделить яркие Фомальгаут и Эниф, хотя вовсе не обязательно использовать в качестве опорных звезды, расположенные рядом с эклиптикой. Составление звездного каталога и описание положения планет, которые движутся в полосе зодиакальных созвездий, задачи совершенно разные. Для составления звездного каталога, вполне пригодны и Капелла, и Вега. Чтобы не терялась точность измерений по долготе, нужно придерживаться не хитрого правила - измерять с помощью этих звезд звезды, которые расположены на еще более высоких широтах. При этом, полюс эклиптики будет измерен очень не точно в любом случае.

Теперь разберемся, как проводил отбор звезд для своего исследования М.Л. Городецкий. Казалось бы, после столь значительного числа жестких обвинений, он должен был это сделать очень тщательно аккуратно. О критерии отбора звезд по скорости автор сообщает: "Вот как выглядит тот же график для 13 самых быстрых по широте (>1' в 100 лет) северных звезд каталога «Альмагеста»". Иначе говоря, согласно сформулированным условиям, отобраны звезды с широтной скоростью больше 0.6"/год. Остается только гадать, как сюда могла попасть i Персея, скорость которой составляет 0.46"/год. Если уж включать в выборку звезду с такой скоростью, то почему не используются более быстрые звезды i Рыб или x Пегаса? Или хотя бы b Кассиопеи, которая имеет примерно такую же скорость и расположена рядом с используемой звездой h Кассиопеи. Сам факт включения i Персея в выборку звезд не может принципиально отразится на результате, поэтому не интересен. Однако после стольких сформулированных обвинений в [1] о недобросовестном отборе звезд КНФ [2] возникает желание проверить добросовестность самого автора. Проверили.

Но, как говорится, дальше - больше. При отборе подразумевается, что выборка должна состоять из хорошо измеренных и надежно отождествляемых звезд. Однако оказывается, что и с этим есть проблемы: правильность идентификации звезды №527 вызывает большое сомнение [4]. Вполне возможно, что в Альмагесте была измерена не 61 Девы, а звезда 63 Девы.
Звезда 61 Девы обладает значительным собственным движением (-1.075;-1.072), которое направлено к юго-западу. Поэтому, тысячелетие назад, 61 находилась гораздо ближе к звезде 63 Девы, чем в настоящее время. Положение звезд таково, что согласно указанным в каталоге координатам, отдать предпочтение в идентификации звезды невозможно даже для 100 года н.э. [4]. В более поздние эпохи, например, для 10 века, проблем с отождествлением нет и звезда, указанная в Альмагесте, отождествляется с 63 Девы.

Рис.3 Окрестность звезды 61 Девы на 2000 год. Красным цветом обозначены звезды не попавшие в каталог, оранжевым, звезды, которые имеют ошибку в координатах.

Непосредственная окрестность 61 Девы содержит с десяток звезд 4-5ой величины, 53, 55, 57, 61, 63, 69, 73, 75 и т.д. Из этих звезд, самыми яркими являются 53, 61, 69, 89 Девы, однако, вторая по яркости 69 Vir отсутствует в каталоге. Из всей этой окрестности, в Альмагесте приведены только три звезды, с точностью изменения координат которых существуют проблемы: №525=53 Девы имеет ошибку в долготе относительно звезд №518-528 около 1.5 градусов и широте около 0.5 градуса, звезда №527 неоднозначно определяется с парой звезд 61 или 63 Девы, а звезда №528 имеет ошибку в широте около 1.5 градусов. Отсюда следует, что случайная ошибка измерения координат в этой области в несколько раз больше значения ошибки в 18', которую использует М.Л. Городецкий для определения погрешности датировки.

Итак, рассматриваемая окрестность промерена очень плохо поскольку:
- в каталоге содержатся не все звезды окрестности 61 Девы,
- в окрестности содержатся не все самые яркие звезды,
- две звезды окрестности заведомо имеют значительные ошибки в координатах,
- в исследуемую эпоху 61 и 63 Девы находятся близко друг к другу.
Поскольку точность измерения в данной области очень плохая, отождествить №527 с 61 или 63 Девы по координатам не представляется возможным. Для решения задачи отождествления, попробуем привлечь другие методы, одним из которых может являться оценка блеска. Выпишем видимый блеск звезд окрестности 61 и 63 Девы.

Звезда № Байли mV B-V msco malm
q 505 4.38 -0.01 4.38 4
l 521 4.52 0.13 4.56 4
k 519 4.19 1.33 4.59 4
p 500 4.66 0.13 4.70 5
r 507 4.88 0.09 4.91 5
61? 527 4.74 0.71 4.95 5
j 520 4.81 0.70 5.00 4
26 523 4.66 1.23 5.04 5
53 526 5.04 0.46 5.18 6
74 512 4.69 1.62 5.20 5
40 524 4.79 1.60 5.28 5
89 528 4.97 1.06 5.30 6
90 517 5.15 1.08 5.47 5
76 513 5.21 0.96 5.49 6
82 514 5.01 1.63 5.50 4-5
49 525 5.19 1.14 5.53 5
63? 527 5.36 0.98 5.66 5
68 515 5.25 1.52 5.71 5
86 516 5.51 0.90 5.78 5
46 504 5.99 1.12 6.33 5
44? 504 5.79 0.18 5.85 5

где mV - блеск в лучах "V"; B-V -разница блеска в фильтрах "B" и "V", где msco - видимый блеск звезды, где malm - блеск, указанный в Альмагесте.
Следует сделать некоторые замечания. При расчете видимого блеска звезды msco, мы не учли влияние атмосферного поглощения, однако, при прохождении меридиана, высота над горизонтом всех указанных звезд будет около 40-50 градусов, поэтому поправка на атмосферное поглощение будет примерно одинаковой. Во-вторых, 63 Девы относится к субгигантам для которых характерны слабые неправильные колебания блеска, однако не будем переменность этой звезды считать существенным фактором для оценки блеска. Звезда каталога №504 обычно отождествляется с 46 Девы блеск которой с учетом атмосферного поглощения меньше 6.5m. Поэтому, вполне допустимо отождествить №504 с более яркой 44 Девы, предположив чуть большую ошибку в координатах. Заметим, звезда 44 Девы относится к красным гигантам, и поэтому, могла на временном отрезке порядка тысячи лет незначительно изменить блеск.

Из приведенной таблицы становится понятно, что оценке блеска "5" соответствуют звезды у которых msco имеет разброс от 4.70m до 6.33m. 61 Девы при блеске 4.95m попадает в начало этого диапазона, а звезда 63 Девы, в середину диапазона. Если провести оценку блеска по ближайшим звездам, то казалось бы, предпочтительнее смотрится 61 Девы, которая действительно чуть ярче соседних 53 и 89 Девы, которые оценены как более слабые. Однако следует сделать одно существенное замечание. Стандартная средняя ошибка блеска в звездном каталоге Альмагест составляет чуть более половины звездной величины, а 61 Девы ярче соседних 53 и 89 примерно на треть звездной величины, что меньше погрешности оценки блеска. Кроме того, свыше трети всех звезд имеют ошибку в блеске более одной звездной величины, в разряд которых как раз и попадают 53 и 89 Девы. Отсюда следует, что с помощью оценки блеска нельзя провести идентификацию звезды.


Тогда, обратимся к словесному описанию 527.
№ Байли   Описание положения                                   	             Отождествление
 510          Звезда на конце левой руки, так называемый Колос          	Спика
 526          Передняя из трех по прямой под Колосом                    	   53
 527          Средняя из них, двойная                               	 	61+63
 528          Последняя из трех                                       		   89

Птолемей называет звезду №527 двойной, причем делает это единственный раз, хотя в каталоге содержится не мало ярких двойных звезд: известная пара Мицар и Алькор z и 80 Большой Медведицы (Байли №34) с угловым расстоянием 12',a1 и a2 Козерога (Байли №601) - 6', m1 и m2 Скорпиона (Байли №558) - 6', q1 и q2 Тельца (Байли №392) - 6' и т.д. Ни одна из этих звезд не названа двойной, хотя человек с нормальным зрением способен разрешить угловой интервал в 1'.
Поэтому, название "двойная" для ничем не примечательной пары звезд 61+63 Девы выглядит очень странным. Кроме того, во время Гиппарха расстояние между этими звездами было 30', а во время Птолемея - 34', что превышает величину лунного диска. Такое угловое расстояние без проблем можно было бы измерить с помощью астролябии Птолемея, цена деления которой составляла 10'. Например, звезды l и u Скорпиона (Байли №565 и 566) Разделены угловым расстоянием 37', а звезды h и d Ворона 39'.
Этому можно дать два объяснения.
1) В словесном описании произошла ошибка. Двойной названа пара звезд 55+57 Девы, которые расположены чуть к югу и имеют примерно одинаковый блеск. Расстояние между этими звездами составляет около 14', поэтому вполне логично назвать такую звезду двойной и не определять положение второго компонента. Причина возникновения ошибки вполне понятна - эта область звезд была неаккуратно и не в полном объеме промерена, затем, была произведена оценка блеска, при которой звезды могли быть перепутаны, и наконец, было дано не точное словесное описание. Но почему Птолемей называет именно эту пару двойной непонятно.
2) Птолемей сознательно измерил координаты именно 63 Девы и сделал уникальное словесное описание специально, для выделения более тусклого компонента двойной. Такая выделенность 63 Девы имеет единственную причину - эта звезда присутствует у Гиппарха, когда тот доказывая неподвижность звезд, приводит описание положений некоторых звезд, расположенных на одной прямой: 69-63-57. Однако, ни 69, ни 57 Девы в каталог почему-то не попали.
Таким образом, идентификация звезды №527 является не однозначной, а в координатах звезд ее окрестности присутствуют значительные ошибки.

 

Проверка расчетов

М.Л. Городецкий заявляет, что для определения датировки он использует разработанный КНФ метод широтных невязок, однако, при ближайшем же рассмотрении, оказывается что это не так. Для выявления различий, кратко изложим суть метода широтных невязок.
Сначала, КНФ подробно занимаются изучением систематических ошибок каталога. Систематические ошибки измерения координат звезд складываются из инструментальной погрешности изготовления астролябии и неправильной установки ее полярной оси на ось мира. Причина появления инструментальной систематической ошибки, которую вносит в измерения астролябия, состоит в отличном положении эклиптик прибора и реального неба, что проявляет себя в систематической широтной ошибке для всех звезд, которая является функцией долготы. Поскольку эклиптика в Альмагесте имеет больший угол наклона чем расчетная эклиптика, это приводит к удревнению возраста каталога при попытке его датировки без учета инструментальной ошибки.
Неточность настройки полярной оси астролябии на полюс мира, приводит к дополнительным широтным ошибкам, которые выражаются в размывании синусоидальной широтной ошибки, построенной по всем звездам и удревнению или омоложению датировки возраста каталога.

В результате анализа ошибок, КНФ выделяют семь областей с разными ошибками и отличным наклоном полярной оси. Область "М" представляет собой Млечный Путь, который разбивает звездное небо на две части; область "A" включает себя часть северных звезд, расположенных Млечным Путем; ниже "А" находится зона, составленная лишь из зодиакальных созвездий, которая обозначена через "ZodA". Наконец, область, находящаяся под "zodA" и состоящая из южных звезд, была обозначена областью "C". По аналогии, область северных, зодиакальных и южных звезд над Млечным Путем получили соответственно названия "B", "ZodВ" и "D", рис. 4.

Рис.4 Семь областей неба и ошибки полярной оси.

Далее, для каждой из семи областей производится коррекция на разное положение эклиптик. Она осуществляется с помощью синусоиды, которая была обнаружена Петерсом при исследовании ошибок звездного каталога Альмагест [4]. Компенсационная синусоида имеет вид Δb =γ*sin(L+φ), где Δb - широтная ошибка, L - долгота звезды, γ φ - амплитуда и фаза синусоиды. Параметры синусоиды зависят от предполагаемого времени составления каталога и определяются для каждой зоны неба из минимума функции остаточной среднеквадратичной ошибки S[γ(t), φ(t)]->min.
После, компенсации в каждой области инструментальной ошибки, КНФ определяют остаточные среднеквадратичные погрешности измерения координат звезд:

Наиболее точно измерены в Альмагесте звезды из области неба "ZodA". Это видно из того, что компенсация обнаруженной систематической ошибки для этой группы звезд позволила снизить среднеквадратичную ошибку до 12.8'. При этом оказалось, что около 64% звезд получили после компенсации широтную невязку менее 10'.
Следующей по точности группой звезд в Альмагесте является область "A". Там среднеквадратичная широтная невязка снизилась после устранения систематической ошибки до 16.5'. При этом число звезд, имеющих широтную невязку меньше 10', возросло в этой области более чем до 50%.
Следующими по точности измерений оказываются группы звезд Альмагеста в частях неба "B" и "ZodB". Их точностные характеристики весьма близки. Остаточная среднеквадратичная ошибка равняется приблизительно 19'. Звезды с широтной невязкой меньше 10' составляют около 44% в этих группах. Положения полюса эклиптики, определяемые по этим частям неба в Альмагесте хотя "на глаз" и близки к положениям полюса для "A" и "ZodA", но попадают в соотвествующие доверительные полосы лишь при достаточно малых значениях p=0.01. Это означает, что систематические ошибки в областях неба "B" и "ZodB" могут отличаться от ошибок в областях неба "A" и "ZodA". Кроме того, в частях неба "A" и "ZodA" звезды измерены существенно точнее, чем в областях неба "B" и "ZodB".
Звезды в областях неба "C", "D", "М" измерены в Альмагесте хуже, чем в частях неба "A" и "B".

Для датировки каталога КНФ выделяют наиболее точно промеренные области "А"+"ZodA". Далее, авторы исследуют локальные групповые ошибки координат в небольших окрестностях, которые вызваны неточной установкой астролябии по опорной звезде. Расчет показал, что наиболее точно были измерены координаты ярких именных звезд. Из этих звезд КНФ составили "информационное ядро" звезды которого имеют погрешности измерения широт не более 10'. Датировка каталога была определена по движению звезд "информационного ядра".

М.Л. Городецкий действует совсем иначе. Не занимаясь исследованием систематической ошибки, вызванной различной ориентацией полярной оси в разных областях неба, он сразу же начинает искать параметры компенсирующей синусоиды, которая строится по всем северным и зодиакальным звездам на временном интервале [-10;+20] веков. Параметры синусоиды Петерса γ и φ существенно зависят от даты составления каталога. В статье М.Л. Городецкого отсутствует какая либо информация о вычислении параметров синусоиды и определении алгоритма расчета широтных поправок dB, с помощью которых проводится компенсация систематической ошибки. Однако автор предоставил результаты своих расчетов синусоиды Петерса, который приведен на рис.5.

Рис.5 Зависимость параметров синусоиды Петерса γ(t) и φ(t) согласно расчету М.Л. Городецкого.

Остановимся сначала на процедуре расчета широтных поправок. Если КНФ выбирают параметры синусоиды из минимума функции среднеквадратичной ошибки S[γ(t), φ(t)]->min на всем временном интервале, и используют фиксированные значения этих параметров для всех звезд, по которым производится датировка, то М.Л. Городецкий для каждой звезды определяет параметры синусоиды на момент времени, когда ее широтная ошибка равна нулю. Это значит, что для каждой быстрой звезды используется отдельная компенсирующая синусоида с своими значениями γ(t), φ(t).
Это очень странная и сомнительная методика попытка устранения приборной ошибки, поскольку цель использования синусоиды Петерса состоит в учете систематической ошибки обусловленной не точным изготовлением прибора. По причине эффекта планетной прецессии широты звезд изменяются со скоростью около 8' за 1000 лет, поэтому положение эклиптик. Что именно по замыслу автора должны компенсировать широтные поправки координат звезд, рассчитанные для разных веков, понять очень сложно. Компенсирующая синусоида, составленная по методике М.Л. Городецкого не может устранить инструментальную ошибку прибора, и кроме того, даже правильно составленная синусоида в принципе не в состоянии скорректировать другие ошибки, связанные с различным наклоном полярной оси в разных областях или устранить локальную групповую ошибку в широте. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен чуть ниже.

Но сначала, можно установить какой из "стационарных" синусоид Петерса, т.е. с одинаковыми параметры γ(t) и φ(t) для всех звезд, соответствуют широтные поправки, которые использует М.Л. Городецкий. Это не так сложно определить, поскольку в нашем распоряжении есть датировки, посчитанные на программах автора с коррекцией систематической ошибки и без нее. Проще всего найти широтную поправку dB с помощью простого подбора. Для этого, для каждой звезды определим ее поправку dB к широте, приведенной в Альмагесте таким образом, чтобы нулевая широтная невязка соответствовала датировке М.Л. Городецкого.

 № Байли  Название  (1)  (2)  dB, '
 19  q UMa  1200  -513 14
 32  x UMa  100  -1289 11
 110  a Boo  880  759 5
 125  m Her  -600  -174  -9
 146 c Her  -350  95 3
 180  h Cas  -1800  -1193 -8
 196  i Per  -7500  -3714 -19
 247  36 Oph  -860  -734  -3
 261  70 Oph  -450  8  -12
 265  g Ser  100  190  -2
 279  h Ser  -250  649  -18
 360  d Tri  -1700  -769  -6
 527  61 Vir  -180  -505   9

Где (1) - датировка определенная без учета систематической ошибки, (2) - датировка, приведенная в [1] с учетом систематической ошибки, dB - значение поправки в минутах для компенсации систематической ошибки. Зная набор широтных поправок dB для из тринадцати звезд, составим зависимость dB(L) от долготы L, а затем обработаем в программе Origin с помощью функции "fit".

Рис.6 Аппроксимация вычисленных широтных поправок с помощью синусоиды Петерса. Параметры получившейся синусоиды соответствуют в пределах погрешности семейству "стационарных" синусоид [-10;-5] веков, вычисленных М.Л. Городецким.

На рис.6 представлена оптимальная аппроксимация параметров компенсирующей синусоиды, которая была вычислена в Origin-е. Параметр γ=15.88' соответствует -6 веку, значение фазы φ=-34 не соответствует ни одному вычисленному значению фазы на рассматриваемом интервале времен [-1000; 2000]. Ближайшее по величине значение фазы φ=-34, которое находится в пределах погрешности определения фазы, относится -10 и 19 векам. Это значит, что пара значений [γ; φ] в пределах погрешности каждой из величин соответствует временному интервалу [-1000;-500]. В данном случае, оба параметра действуют в сторону удревнения датировки. Поскольку параметр γ оказывает более слабое влияние на датировку, чем фаза синусоиды φ, можно утверждать, что в расчете используется "стационарная" синусоида, соответствующая -10, -9 векам.

Теперь, проведем простое сравнение насколько хорошо компенсируют систематические ошибки методики, которые используют КНФ и М.Л. Городецкий. Делается это очень просто.
Сначала, определим остаточные ошибки по КНФ. Для каждой быстрой звезды составим окрестность, состоящую только из звезд созвездия, которому принадлежит рассматриваемая звезда и которые удалены от быстрой звезды менее чем на 9 градусов. Столь жесткие критерии составления окрестности необходимы для исключения локальных групповых ошибок, которые могут иметь удаленные звезды рассматриваемого созвездия и звезды других созвездий. При этом, составленная окрестность не должна содержать ненадежно идентифицируемые звезды, или звезды, широты которых измерены с большими ошибками.
После составления окрестности, вычислим групповые широтные ошибки в окрестностях быстрых звезд на 950 год, центр датировки каталога по КНФ, вычтем из них значения широтных поправок при γ=21 и φ=0 и получем остаточную ошибку.

(1)
№ Байли
(2)
Байер
(3)
Долгота
(4)
Ошибка
(5)
Поправка
(6)
Ост. Ошибка
(7)
N
(8)
R(N)
180 η Cas 13 -30;-29 4.7 -34 9 7(10)
360 δ Tri 16 0;-8 5.8 -14 3 6(-)
196 ι Per 32 -14;-8 11.1 -19 9 7(10)
19 θ UMa 101 29;28 20.6 7 6 8(11)
32 ξ Uma 104 17 20.4 -3 1 1(13)
110 α Boo 177 8;10 1.0 9 4 8(10)
146 χ Her 191 16;14 -4.0 18 4 8(10)
265 γ Ser 204 3;5 -8.5 14 6 8(10)
247 36 Oph 233 -15;-15 -16.8 2 4 5(10)
125 μ Her 238 -14;-10 -17.8 8 5 8(10)
261 70 Oph 244 5;-1 -18.9 17 6 6(11)
279 η Ser 249 -6 -19.6 14 1 5(11)

(1) - номер по Байли, (2) - название по Байеру, (3) - долгота звезды, (4) - ошибка в окрестности из медленных звезд, определенная по среднему и медиане, (5) - широтная поправка на данной долготе, (6) - остаточная ошибка в окрестности при ошибке, вычисленной по медиане, (7) - число звезд в окрестности, (8) - радиус окрестности при данном числе звезд, в скобках указан радиус окрестности при добавлении в нее следующей ближайшей звезды.

Заметим, что количественный состав окрестностей получился неравнозначным. Так окрестности ξ Uma и η Ser состоят всего из одной звезды сравнения, поэтому вычисленные ошибки для этих звезд являются не надежными. Кроме того, значения погрешностей ошибок для каждой окрестности могут значительно отличаться, однако в данном исследовании, знание погрешностей ошибок не является необходимым.
Из таблицы видно, что на долготах звезд 180, 360 и 196 наблюдается самая большая остаточная ошибка, но эти все эти звезды не входят в область "А"+"ZodA", поэтому систематическая ошибка компенсируется там не правильно. Звезда δ Треугольника принадлежит области "B", а η Кассиопеи и ι Персея относятся области "М". Хотя остаточные ошибки звезд 70 Oph и η Ser не велики и укладываются в 2σ, они принадлежат к области Млечного Пути, поэтому остаточная ошибка в этих областях может отличаться от ошибок в области "А"+"ZodA". Семь оставшихся звезд принадлежат области "А"+"ZodA" и в 5 случаях из 7 остаточная ошибка звезд окрестности составляет менее 10'. Из этих звезд КНФ используют для датировки только Арктур, который является единственной именной звездой.

Теперь посмотрим насколько хорошо устраняются систематические ошибки при методике расчета по М.Л. Городецкому. Для этого, определим остаточные ошибки в окружениях всех быстрых звезд, которые используются в расчете. Вычислим значение широтной ошибки по среднему и по медиане в каждой окрестности на дату, когда быстрая звезда проходит нуль по широтной невязке.

(1)
№ Байли
(2)
Байер
(3)
Долгота
(4)
Дата
(5)
Ост. Ошибка
(6)
N
(7)
R(N)
180 η Cas 13 -1193 -37;-39 9 7(10)
360 δ Tri 16 -769 -5;-15 3 6(-)
196 ι Per 32 -3714 -38;-35 9 7(10)
19 θ UMa 101 -513 22;19 6 7(11)
32 ξ Uma 104 -1289 7 1 1(13)
110 α Boo 177 759 9;11 4 8(10)
527 61 Vir 178 -505 1;4 7 7(10)
146 χ Her 191 -350 22;21 5 8(10)
265 γ Ser 204 190 8;10 6 7(9)
247 36 Oph 233 -734 1;-1 4 5(10)
125 μ Her 238 -174 -4;-1 5 8(9)
261 70 Oph 244 8 12;7 6 6(11)
279 η Ser 249 649 -3 1 5(11)

(1) - номер по Байли, (2) - название по Байеру, (3) - долгота звезды, (4) - датировка по быстрой звезде, (5) - остаточная ошибка в окрестности из медленных звезд, определенная по среднему и медиане, (6) - число звезд сравнения в окрестности, (7) - радиус окрестности при данном числе звезд, в скобках указан радиус окрестности при добавлении в нее еще одной ближайшей звезды.

В секторе долгот [13;32] градусов остаточные ошибки в окрестностях, составленных из медленных звезд не скомпенсированы: невязки окрестностей около ι Персея и η Кассиопеи составляют -35'÷39'. Это означает, что при используемом М.Л.Городецким стандартном отклонении в 18', остаточные ошибки превышают уровень 2σ и датировки по этим звездам являются заведомо неправильными. Несмотря на то, что остаточная ошибка в окрестности δ Треугольника вроде бы попадает в одно стандартное отклонение, систематическая ошибка в этой области долгот компенсирована не правильно. Чтобы в этом убедиться, определим датировку по звезде β Кассиопеи, которая обладает скоростью примерно такой же, что и ι Персея и удалена по долготе от уже рассмотренной звезды η Кассиопеи всего на 5 градусов. Без учета систематической ошибки будет получена датировка -4131 годом. В соответствии с методикой М.Л. Городецкого вычислим значения параметров γ(t) и φ(t) при t=-4131 и определим широтную поправку, которая составит dB=-22'. Полученная широтная поправка для звезды β Кассиопеи весьма существенно (на 14') отличается от определенной ранее поправки для звезды η Кассиопеи, dB=-8'. Конечно же, этот результат не означает, что в относительно компактном созвездии Кассиопеи присутствуют сразу две систематики, просто предлагаемая М.Л. Городецким методика расчета не в состоянии корректно компенсировать систематическую ошибку даже для одного созвездия.

КНФ смогли придумать только одну причину [появления синусоидного распределения] — неточная ориентация полюса эклиптики. Однако такое элементарное объяснение не проходит из-за кинематических связей. При этом наблюдаемой фазе широтных синусоид в десятки градусов должна соответствовать гигантская ошибка такого же порядка в долготах. Впрочем, КНФ долготы игнорируют и поэтому для них это не является препятствием. Кроме того, порядок ошибок в положении точки весеннего равноденствия (около 1 градуса) и наклона эклиптики (около 10') можно установить из текста Альмагеста независимым образом.

На самом деле, синусоидальная ошибка может возникнуть по техническим причинам - неточным изготовлением самой астролябии и неточным ее наведением на полюс мира. Этих двух причин волне достаточно для появления наблюдаемой синусной ошибки и в широтах, и в долготах [4]. Кроме того, второй фактор, "разное наведение прибора на полюс мира" приводит к появлению существенно разных систематик, которые наблюдаются в зонах "A", "B", "C" и "D". Удивительного в этом так же ничего нет - настройка прибора со временем может сбиться и есть масса причин для этого.
Примечательно заявление автора "о наблюдаемой фазе широтных синусоид в десятки градусов". Значения фазы действительно получаются около -10÷-30 градусов в разные века и по разным звездам, однако точность определения фазы составляет все те же 20-30 градусов! Похожая картина наблюдается в долготах - значение фазы получаются около нуля, но ее погрешность такая же. Далее М.Л. Городецкий совершенно справедливо уточняет величину фазы по долготе, связывая ее с положением точки весеннего равноденствия. Но очевидно, что если реальная ошибка в долготе составляет около градуса, то и реальная широтная ошибка в фазе не сильно отличается от этой величины, поэтому, использование КНФ нулевой фазы синусоиды полностью обоснованно.

Итак, проверка показала, что метод вычислений систематических ошибок, который применяет М.Л. Городецкий методологически не правилен, что не может не сказываться на конечном результате датировки каталога.

Наконец, кратко прокомментируем датировку, полученную по расширенной выборке из 119 звезд каталога, куда были включены южные звезды. Здесь есть два существенных момента, на которые мы хотим обратить внимание.
Во-первых, в датировке по расширенной выборке автор использует южные звезды. К сожалению, процедура расчета и определения систематических ошибок для южных звезд в статье не описана. В частности, точно не сообщается по каким звездам была рассчитана синусоида Петерса для проведения этой датировки. Была ли это отдельная синусоида, определенная только по южным звездам, или это был отдельный расчет, где компенсирующая синусоида строилась сразу по всем звездам северного и южного неба. Судя по тому, что автор использует для северных и южных звезд две разные погрешности в 18' и 25', можно предположить, что компенсирующая синусоида по южным звездам определялась в отдельном расчете и все южные звезды были объединены в одну группу. Однако, южным звездам соответствуют области "C"и "D" в которых положение полярной оси различается очень существенно, рис. 4, поэтому объединение этих областей в одну неизбежно приводит заведомо неправильным параметрам компенсирующей синусоиды, и как следствие к неправильным широтным поправкам и к резкому возрастанию погрешности.

Во-вторых, в расширенной датировке автор использует звезды, скорость которых составляет более 5' за 2000 лет, или 0.15"/год.

На самом деле, если быть совсем строгим, то я не учитывал самые медленные звезды, которые передвигаются за всю эпоху возможной датировки на величину меньшую ошибки округления — на 5' за 2000 лет, они могут наоборот ухудшить оценку.

Поскольку нам необходимо установить датировку каталога с точностью хотя бы до 1000 лет, медленные звезды переместятся за этот временной интервал всего на 2.5' при стандартной ошибке в 18' для северных и зодиакальных звезд, ошибке в 25'для южных звезд. Поэтому, "датирование" каталога по медленным звездам является подменой датировки по собственному движению звезды, "датировкой" групповых ошибок и случайных ошибок измерения в той или иной области. Такая датировка бессмысленна.

 

Несколько замечаний об "античном" Арктуре

 

В статье М.Л. Городецкого Арктуру посвящена отдельный параграф под названием "Этот «особенный» Арктур", где автор пространно рассуждает на тему получения античных и средневековых датировок по этой звезде. Причина такого исследования понятна. Сначала автор как бы "демонстрирует", что датировка КНФ строится по одному Арктуру, а затем показывает, что по этой звезде можно получить античную дату в начале века.

Может возникнуть некоторое недоумение: как Арктур позволяет получить одновременно и античную и средневековую датировку? Попробуем разобраться.

Посмотрим, насколько М.Л. Городецкому удалось разобраться в этом вопросе. Античная датировка по Арктуру действительно может быть получена, если ее определить по методу взаимных расстояний. В этом методе, датировка определяется сравнением углового расстояния между быстрой звездой и звездой окрестности, и определении даты, когда расчетное расстояние между звездами соответствует расстоянию в звездном каталоге. В работе [6] А.К. Дамбис и Ю.Н. Ефремов с помощью метода взаимных расстояний датируют каталог по Арктуру 50 годом с погрешностью ±270 лет. Хотя этот результат в пределах погрешности и соответствует датировке по широтам +590 год ±330 лет и датировке по методу широтных невязок +740 ±265, центр датировки почему-то значительно смещен, а погрешность метода самая низкая. В этом необходимо разобраться.

Арктур обладает значительным собственным движением 2.28"/год, которое практически полностью приходится на широтную компоненту 2.27"/год. Из теоремы Пифагора не сложно определить, что собственная скорость Арктура по долготе составляет около 0.02" год, поэтому за тысячелетие он проходит по долготе расстояние менее половины угловой минуты. Таким образом, можно считать Арктур неподвижной по долготе звездой.
Первая странность, которая бросается в глаза состоит в том, что погрешность датировки, которую получают А.К. Дамбис и Ю.Н. Ефремов оказывается меньше, чем в методе широтных невязок и в методе датировки по широтам, где используется только одна координата звезды, а не две. Получается удивительная ситуация. Арктур движется практически точно по широте, мы добавляем в расчет еще одну координату, долготу, которая измерена с неизвестной погрешностью, собственная скорость звезды при переходе от скорости по проекции к полной скорости практически не возрастает, но погрешность метода уменьшается! Возникает естественное предположение, что А.К. Дамбис и Ю.Н. Ефремов неправильно определили погрешность датировки для этой звезды.

Добавление в датировку долготы, по которой Арктур практически неподвижен, почему-то приводит к существенному удревнению датировки. Для выяснения ситуации, определим долготу Арктура и звезд из его окрестности на эпоху Птолемея.

Байер Lcalc Lalmag Lcalc -Lalmag
a Boo 177 48 177 00 48'
υ Boo 172 40 171 20 80'
t Boo 171 41 170 30 71'
η Boo 172 43 171 20 83'
ζ Boo 186 30 185 20 70'
ρ Boo 176 15 175 00 75'
s Boo 177 09 175 40 89'
e Boo 181 31 180 00 91'

Групповая ошибка окрестности Арктура по долготе составляет 80' при подсчете по среднему и по медианам, а индивидуальная ошибка Арктура по долготе составляет +48', что на половину градуса(!) отличается от ошибки окрестности. Получается, что Арктур действительно "идет не в ногу" с окрестностью, но не по широте, а по долготе. Именно ошибка относительно окружения в 32' по долготе и приводит к значительному удревнению датировки до начала 1-ого тысячелетия. Если компенсировать эту ошибку в долготе, то по ближайшему окружению немедленно будет получена средневековая дата.

Казалось бы, ситуация с Арктуром предельно ясна - ошибка в долготе относительно ближайших звезд окружения приводит и к удревнению датировки, и к увеличению погрешности датировки. Но как оказалось, чудеса продолжаются. Оказывается, добавление лишней координаты при неизменной скорости звезды приводит к .... снижению погрешности датировки!

Для того чтобы оценить погрешность расстояния, просто его посчитаем для 104 г. н.э. составив все возможные 66 пар. Получим 14.6'. Теперь надо все оценки по разным кривым усреднить, но так как в каждую оценку входят координаты Арктура, усредняться будут только погрешности координат звезд окружения, и следовательно итоговая погрешность будет чуть больше, чем примерно в корень из 2-х уменьшенная единичная оценка. Окончательно получаем датировку: 100±260 лет.

Очевидно, что М.Л. Городецкий получает явно заниженное значение погрешности. Весь фокус основан на том, что долгота Аркутра просто исключена из рассмотрения, хотя она не изменяется относительно звезд окружения даже за тысячелетие и ничто не мешает эту ошибку учесть. Если честно добавить в расчет координаты Арктура, то долготная ошибка немедленно скажется на 9 из 11 парах сравнения, поскольку из отобранных автором звезд только β и μ Волопаса имеют только такие же долготные ошибки что и Арктур.

Относительные координаты ярких звезд в созвездиях, как я и утверждал, измерены лучше чем абсолютные (около 10' по каждой координате), что понятно — после фиксации армиллярной сферы с некоторой погрешностью с помощью опорной звезды, в координатах которой заключены свои погрешности, дальнейшие измерения координат проводятся по простой и единообразной процедуре.

Вполне возможно, это утверждение выполняется "в среднем" на многих звездах, но это никак не относится к индивидуальной ошибке в долготе Арктура, которую никто не мешал автору определить.

Подведем итог датировки по Арктуру. А.К. Дамбис, Ю.Н. Ефремов и М.Л. Городецкий правы в том, что если использовать метод взаимных расстояний, то по ближайшему окружению Арктура действительно можно получить датировку временем Птолемея. Однако, эта датировка держится только на явной ошибке в долготе Арктура в 32' относительно звезд окрестности, причем именно по этой координате собственная скорость звезды близка к нулю. Добавление дополнительной координаты при неизменной скорости звезды, приводит только к ухудшению погрешности датировки, поэтому для звезд полное движение, которых совпадает с одной из координат, для увеличения точности, необходимо проводить датировку только по одной координате. Все три автора ошибочно занижают погрешность датировки в методе взаимных расстояний, которая на самом деле окажется в 1.5-2 раза выше заявленной.

 

Заключение

  • Способ датировки звездного каталога, который использует М.Л. Городецкий значительно отличается от методологии КНФ, хотя автор заявляет противоположное.
  • Методика определения систематических ошибок в окрестностях быстрых звезд по "нестационарной" синусоиде приводит к разным значениям поправки широты даже для одной окрестности. Фактически, это подразумевает, что фрагменты окрестности могли быть добавлены в каталог в разные тысячелетия.
  • Предложенная автором методика расчета широтных поправок далеко не всегда способна компенсировать систематическую ошибку в окрестности. Величина остаточных ошибок при датировке по звездам η Кассиопеи и ι Персея не укладывается в 2 стандартных отклонения, которые были определены автором.
  • При расчете широтных поправок все виды систематических ошибок перемешиваются.
  • Датировка каталога по расширенной выборке, включающей очень медленные звезды сводится к датировке групповых и случайных ошибок измерения координат звезд и не несет в себе никакого смысла.
  • Автор так и не разобрался с вопросом датировки и точностью датировки по Арктуру, хотя этому посвящена отдельная глава.
  • Датировка каталога, полученная автором является неправильной.
  • Литература

    1. М.Л. Городецкий Звездные войны с историей.
    2. В.В. Калашников, Г.В. Носовский, А.Т. Фоменко Датировка звёздного каталога «Альмагеста». Статистический и геометрический анализ, Москва Факториал, 1995
    3. Программа М.Л. Городецкого "table".
    4. С. Peters, Е. Knobel Ptolemy's сatalogue of stars a revision of the Almagest // Washington, 1915.
    5. Звездный каталог Альмагест на страничке А.И. Захарова.
    6. А.К. Дамбис, Ю.Н. Ефремов Датировка звездного каталога Птолемея по собственным движениям: тысячелетняя проблема решена.

    Rambler's Top100