Считается, что в древности наиболее простым и доступным способом предсказания было предсказание с помощью сароса. Некоторые историки астрономии полагают, что сарос был известен и широко применялся уже в середине 1 тысячелетия до н.э. [1], [2], [3]. Однако, для того чтобы делать с помощью сароса какие-то предсказания, нужно прежде всего, его суметь найти. Целью настоящей работы является изучение вопроса возможности нахождения сароса на основании только данных о наблюдении затмений без использования определенных представлений и теорий.

Сарос представляет собой временной интервал, равный по продолжительности S = 6585.33 суток, что примерно соответствует 18 годам и 10 или 11 суткам, в зависимости от числа високосных лет. Если в некий год N, в некотором географическом пункте было зафиксировано затмение, то дата ближайшего затмения, которое можно предсказать с помощью сароса будет N+S. Поскольку в саросе содержится не целое число суток, а 1/3, то не каждое предсказанное затмение с помощью сароса можно наблюдать из одного географического пункта. Утроенный сарос (экселигмос) соответствует почти целым суткам и его применение гарантирует возможность наблюдения лунного затмения. Недостатком способа предсказания затмения через тройной сарос является большая продолжительность этого данного интервала, который составляет 54 года.
Однако у способа предсказания затмения с помощью сароса есть и еще одно слабое место – нахождение (выделение) этого периода из серии реальных наблюдений представляет собой неразрешимую задачу, в которой правильный ответ можно получить лишь наперед зная его. А. Панненкук [1 стр. 61-62], а так же заимствовавший и развивший его рассуждения В.А. Бронштэн [2 стр. 16-18] делают попытку обоснования возможности нахождения сароса древними астрономами из простых наблюдений без развитой лунной теории. Приведем рассуждения В.А. Бронштэна:

Вернемся к лунным затмениям. Составим, следуя А. Панненкуку таблицу расстояний Луны до узла для шести последовательных серий затмений для периода 1966-1987 гг. Для полной картины в таблице приведены данные и для полутеневых затмений (обозначены буквами “пт”); частные затмения обозначены буквой “Ч”, полные - буквой “П”. Если считать и полутеневые затмения, в каждой серии будет 8 или 9 затмений, разделенных интервалами в 6 синодических месяцев. Таким образом, длительность серий составляет 42 или 48 месяцев. В четырех случаев из пяти новая серия начинается на месяц раньше, чем заканчивается предыдущая, в одном случае она начинается на 5 месяцев позже окончания предыдущей. Поскольку из пяти первых серий три имеют длительность 42 месяца, а две 48, интервал от начала первой серии до начала шестой будет равен 42•3+48•2 –4 +5=223 месяца. Запомним это число. …
… Взглянем теперь на таблицу глазами древних вавилонских астрономов. Полутеневых затмений они не видели, поэтому исключим их из таблицы. Тогда в серии будет от 4 до 6 затмений. Если взять первые пять серий (6-ая серия нам нужна для сравнения с 1-ой серией), то одна из них содержит 4 затмения и охватывает интервал в 18 месяцев; две содержат по 5 затмений, но охватывают разные интервалы: 4 серия – 30 месяцев (вклинилось полутеневое затмение, которое вавилоняне посчитают за отсутствие затмения), 5-ая серия – 24 месяца; наконец, две серии (2-ая и 3-я) содержат по 6 затмений и охватывают интервал в 30 месяцев каждая. Интервалы от конца предыдущей серии до начала следующей составляют соответственно 17, 17, 11, 23 и 23 месяца. Общая продолжительность цикла из пяти серий равна 18+24+3•30+2•17+11+2•23= 223 месяца. Это значит, что и вавилоняне ничего не зная о полутеневых затмениях, могли найти этот период.
Можно его найти и третьим способом, если брать интервалы между полными затмениями, находящимися в середине серии. Эти интервалы трижды равны 47 месяцам и дважды – 41 месяцу. Складывая, получим 3•47+2•41=223. …
… Этот период, получивший в последствии в древней Греции названия сароса был открыт древними вавилонскими астрономами не позднее 6 века до нашей эры.

Рассуждения А. Панненкука и В.А. Бронштэна выглядят довольно логично и убедительно, однако в их основу положено предположение о том, что наблюдатели имеют информацию абсолютно обо всех затмениях, которые происходят где-то на Земле. Но это предположение заведомо невыполнимо, поскольку реальному наблюдателю были доступны наблюдения с одной, сравнительно небольшой территории, откуда можно наблюдать чуть более половины затмений. Кроме того, необходимо принять во внимание погодные условия, по причине которых могла быть пропущена часть затмений в серии. Так же могли остаться незамеченными частные затмения с малой фазой, поэтому пробелов в серии будет еще больше.
Приведем таблицу для шести серий лунных затмений из работы [2] за период с 5 апреля 1966 до 7 октября 1987 года. Единственное отличие от таблицы В.А. Бронштэна состоит в том, что мы уберем информацию о расстоянии Луны до узла орбиты, которая в данном исследовании не требуется и дополним её информацией о датах затмений. Поскольку в работе В.А. Бронштэна речь идет о наблюдениях из древней Месопотамии, определим условия видимости затмений в серии, если бы гипотетический наблюдатель находился, например, в Мосуле (Ирак). Затмения, которые невозможно было наблюдать из Мосула, обозначены в таблице красным цветом.

Примечания:
П¹ – затмение полное, но из текущей точки видно начало полутеневого затмения.
Ч² – фаза затмения 0.11.
Ч³ – фаза затмения 0.13.
Ч⁴ – из текущей точки видно начало полутеневого затмения.
П⁵ – из текущей точки виден конец полутеневого затмения.

Из представленной таблицы следует, что ни один из трех методов, которые декларирует В.А. Бронштэн на самом деле не работает. Поскольку древние наблюдатели не могли регистрировать полутеневые затмения, из первой серии (апрель 1966 – сентябрь 1969), нельзя наблюдать ни одно затмение. Вариация долготы в затмении №5 (13.04.68) может превратить его в частное затмение с небольшой фазой, однако это не принесет никаких дивидендов. Во второй серии выпадают частные затмения № 2 (21.02.70) и № 7 (26.07.72), которые почти на год сокращают её продолжительность. В третьей серии затмений, частные затмения № 2 (10.12.73) и № 7 (14.05.76) имеют довольно малые фазы, а поэтому, могли быть пропущены с высокой вероятностью. Пропуск хотя бы одного из затмений начинающих, или заканчивающих серию снова приводит к сокращению продолжительности серии, хотя нельзя исключать возможности наблюдения всех затмений этой серии. Однако, и в оставшихся двух сериях №4 и №5 снова имеем пропуск первого или последнего затмения в серии. Таким образом, при нахождении гипотетического наблюдателя в городе Мосул по представленным сериям затмений найти сарос невозможно.
При выборе другого комплекса из пяти последовательных серий затмений типа 1÷5 или изменении точки наблюдения, условия видимости затмений изменяются. Какая-то часть затмений станет видимой, но это не приводит к существенному увеличению общего количества наблюдаемых затмений для данного географического пункта, поэтому пропуски в сериях останутся. Случай не наблюдаемости хотя бы одного затмений начинающих или заканчивающих серию реализовывается часто, а учитывая что сарос состоит из пяти серий затмений, применить на практике методики нахождения сароса предложенные А. Панненкуком и В.А. Бронштэном невозможно.

Проверим возможность нахождения сароса другим эмпирическим способом, который основан на выделении наиболее частого повторяющегося цикла (квазипериода или временного интервала) между затмениями. Для этого, выпишем даты всех лунных затмений, которые можно наблюдать в фиксированном географическом пункте за большой период времени. Будем считать, что погодные условия всегда позволяют проводить наблюдение затмения, а наблюдатель может регистрировать частные затмения со сколь угодно малой фазой.
Вычислим периоды повторения затмений следующим способом. Пусть имеется список из N затмений. Возьмем юлианскую дату первого затмения в списке, вычтем ее из дат остальных N-1 затмения и получим набор периодов t₁. Далее, возьмем дату второго затмения и так же вычтем её из дат остальных затмений и тем самым получим набор периодов t₂. Объединим множества t₁ и t₂ таким образом, что если период присутствует в обоих множествах, то частота его повторения увеличивается на единицу. Если же период из списка t₂ отсутствует в списке периодов t₁, то список t₁ дополняется новым периодом, которому приписывается частота, равная единице. После этого, возьмем третье затмение повторим описанную процедуру до тех пор, пока не будет использовано предпоследнее затмение из имеющегося списка.
Для определения частот периодов повторения затмений мы взяли интервал продолжительностью Т=300 лет за время которого можно наблюдать около трех сотен затмений, а в качестве географического пункта моделируемых наблюдений выбрали Каир (Египет). В принципе, место наблюдения можно взять любое, избегая высоких околополярных широт, где из-за эффекта полярной ночи возможны экзотические реализации частот. Выбор точки наблюдения между северным тропиком и средними широтами обоснован тем, что именно здесь проводили свои наблюдения греческие, китайские, египетские и вавилонские астрономы.

Рис. 1.   Частоты квазипериодов, расчитанные по всем лунным затмениям, которые можно наблюдать из Каира в период 300 лет.

На рис. 1 приведены результаты моделирования частот повторения лунных затмений, которые можно наблюдать за период Т=300 лет из одного географического пункта. Штрихованными синими столбцами обозначен вариант расчета, в котором были использованы все лунные затмения, красными столбцами обозначен вариант, в котором частоты определялись только полным затмениям. Для лучшей наглядности, мы отбросили частоты, период которых превышают сарос, а способ нахождения тройного сароса будет рассмотрен отдельно.
Из рис. 1 следует, что в обоих случаях частоты повторения затмений группируются в виде пакетов со средним периодом повторения около ~1200-1300 дней. Каждый пакет представляет собой интегральное число видимых с выбранной территории затмений в серии, которое просуммировано за несколько десятков серий. Поэтому пакет состоит из нескольких частот, разделенных интервалом 177 суток. Однако в данном эксперименте выделить частоту, которая соответствует саросу нельзя ни для первого, ни для второго варианта. Сарос не является доминантным периодом ни среди всех квазипериодов, ни в своем частотном пакете и в обоих вариантах он теряется среди полутора десятков частот других периодов.
Еще более проблематичная ситуация складывается с нахождением сароса по солнечным затмениям, которые наблюдаются гораздо реже лунных. На рис.2 представлена частотная диаграмма квазипериодов повторения затмений, рассчитанная по солнечным затмениям за тот же интервал Т=300 лет.

Рис. 2.   Частоты повторения затмений, рассчитанные по солнечным затмениям, которые можно наблюдать из Каира за 300 лет.

В данном случае, сарос не попадает даже в первые два десятка наиболее повторяющихся периодов, поэтому возможность его нахождения по наблюдению солнечных затмений вызывает большие сомнения.

Выделение периодов повторения затмений по реальным наблюдениям является более сложной задачей, поскольку в сериях появляются дополнительные пропуски затмений с малыми фазами или пропуски могут быть вызваны неблагоприятными погодными условиями, что приводит к искажению теоретических частот. Зависимость результата от исходной выборки затмений, проявится в увеличении одних частот и уменьшении других, что еще сильнее затруднит задачу. В качестве примера, построим частотную зависимость по всем лунным затмениям из китайских летописей, в которых в общей сложности, начиная 3-его по 17 век в китайских летописях описано 155 лунных затмений [4]. Заметим, что используемая методика определения частот позволяет эффективно исключать влияние на конечный результат затмения, даты которых указаны с ошибкой. Ошибочность календарной даты в одном затмении приведет к появлению целого семейства затмений с частотой равной единице. Такие частоты можно получить и в малочисленной выборке, с пропусками затмений, однако их все можно исключить, поскольку ценность имеют только периоды с большим значением частоты. Применяя к китайскому набору затмений изложенную выше методу расчета частот, получим следующую картину, рис.3.

Рис. 3.   Частоты повторения затмений, рассчитанные по лунным затмениям, из китайских хроник.

Качественно, частотная диаграмма построенная по “китайским” наблюдениям выглядит аналогично диаграмме, вычисленной по виртуальным “каирским” наблюдениям. Квазипериоды по-прежнему группируются в виде пакетов, однако, их профиль гораздо менее симметричен. Этот эффект размазывания происходит причине более низких значений частот, и как следствие, худшего усреднения. Кроме того, в сериях наблюдений присутствуют пропуски наблюдений, которые вызывают дополнительные искажения частот. Найти и выделить сарос из множества других периодов по китайским наблюдениям лунных затмений невозможно.

Рассмотрим возможность нахождения по наблюдательным данным тройного сароса (экселигмоса). Интервал между затмениями в экселигмосе весьма продолжителен и составляет примерно 54 года. Однако, этот период примечателен тем, что в отличие от обычного сароса, его величина равна почти целому числу суток. Поэтому затмения связанные через этот период будут наблюдаться примерно в одно и то же время. Снова обратимся к модельным сериям лунных затмений, и вычислим теоретические значения частот, до величины квазипериода t=27000 дней, рис. 4.

Рис. 4.   Долгопериодические частоты, рассчитанные по лунным затмениям, которые можно наблюдать из Каира за 300 период лет.

Среди всех частот незначительно выделяется квазипериод около 19756 дней, который соответствует утроенному саросу или эксеглимосу. Однако и кроме экселигмоса, существуют более короткие интервалы, с периодом повторения около 2.5 и 4 тысяч дней, которые имеют гораздо большую практическую актуальность из-за относительно короткой продолжительности. Заметим, что применяемая методика расчета частот приводит к тому, что коротко периодические частоты оказываются несколько “завышенными” по сравнению с длинно периодическими. В частности, частота соответствующая экселигмосу перестает учитываться после 246 лет, в то время как частота соответствующая квазипериоду 4 тысячи дней (~11 лет) учитывается 289 лет, поэтому она “завышена” по сравнению с экселигмосом на (54-11)/300=0.14 или 14%. Этот эффект исчезает, когда значение квазипериода становится много меньше периода наблюдения затмений Т, например, при расчете сароса этот эффект незначителен. Снова воспользуемся китайскими наблюдениями лунных затмений, по которым определим долгопериодические частоты квазипериодов, рис. 5.

Рис. 5.   Долгопериодические частоты, рассчитанные по лунным затмениям, которые можно наблюдать из Каира за 300 период лет.

Расчетные частоты зависят от исходного набора затмений, поскольку, зарегистрировать все затмения в одном географическом пункте невозможно по причине влияния фактора погодных условий, поэтому они могут изменяться в сторону увеличения или уменьшения. Результаты моделирования показывают, что частота соответствующая экселигмосу примерно в полтора раза превышает частоту сароса. Однако, и этом случае величина экселигмоса ничем не выделяется среди десятков других частот со схожей интенсивностью, поэтому выделение тройного сароса из наблюдательных данных также является проблематичной задачей.

Поиск экселигмоса по солнечным затмениям приводит к благоприятному результату как по модельным расчетам, так и по реальным наблюдениям, рис. 6, рис. 7.

Рис. 6.   Долгопериодические частоты, рассчитанные по лунным затмениям, которые можно наблюдать из Каира за 300 период лет.

Рис. 7.   Долгопериодические частоты повторения затмений, рассчитанные по 95 солнечным затмениям, из китайских хроник.

Во всех трех вариантах расчета, экселигмос является доминирующей частотой среди других квазипериодов, превышая остальные самые большие частоты примерно в полтора раза. Кроме того, вероятность предсказания затмения с помощью экселигмоса оказывается самой высокой. В таблице 2 приведены вероятности успеха предсказания солнечных (ВС) и лунных затмений (ВЛ) по сериям каирских затмений (теоретические серии) и реальному множеству китайских наблюдений. Вероятность определялась как отношение числа удачных предсказаний затмений к полному числу попыток.

В хорошем приближении теоретические значения вероятностей можно считать предельно достижимыми, а вот их реализации, вычисленные по реальным сериям наблюдений, могут заметно отличаться. Во всех случаях наилучшую вероятность предсказания обеспечивает экселигмос, в то время как вероятность предсказания по саросу является одной из самых низких, превосходя по значениям только вероятности, которые получаются по двойному саросу. Заметим, что кроме периодов кратных саросу, нами были рассмотрены дополнительно только два квазипериода, хотя можно выделить еще десяток других квазипериодов, которые по вероятности успешного предсказания затмения превзойдут сарос. Отсюда следует, что сарос нельзя выделить с помощью частотного анализа по какому-то признаку среди остальных долгопериодических частот.

Итак, из наблюдений солнечных затмений можно обнаружить экселигмос. Сделаем простую оценку, каким условиям должно удовлетворять гипотетическое множество наблюдений, по которым можно обнаружить экселигмос. Прежде всего, необходимо располагать серией из примерно сотни наблюдений, как в расчете частот по солнечным затмениям из китайских хроник. В случае менее продолжительной серии наблюдений, частоты квазипериодов будут малы по абсолютным величинам, что сделает выделение любого периода ненадежным. Кроме того, в реальной серии, между затмениями появятся пробелы, которые обусловлены пропусками затмений с малыми фазами и невозможностью наблюдения некоторых затмений из-за погодных условий. Поэтому, при расчете частот по малой выборке, расчетные частоты будут зависеть от ее состава, что приведет к случайным колебаниям частот и потребует большего числа наблюдений для их усреднения. После оценки необходимого количества затмений, можно оценить временной интервал, который потребуется для их наблюдения. Заявленную сотню солнечных затмений можно зарегистрировать примерно за 300 лет, если считать, что наблюдатель увидит абсолютно все затмения. Если же посчитать, что наблюдатель не заметит затмения с фазой менее 0.3÷0.4, то временной интервал возрастет до 400÷500 лет. Наконец, для возможности проведения подобных расчетов, необходимо употребление на протяжении всего периода наблюдений четкой календарной системы.

• Поверка методик нахождения сароса, которые использовали в своих работах А. Панненкук и В.А. Бронштэн, показала их полную несостоятельность. На практике сарос невозможно найти ни одним из предложенных способов.

• Проведенное моделирование показывает ошибочность аргументации предположения, о возможности выделения сароса среди других квазипериодов между затмениями из наблюдательных данных. Кроме сароса существуют другие периоды повторения затмений, с помощью которых можно предсказать затмение с большей вероятностью.

• Сарос мог быть выделен и обособлен только при наличии теории движения Луны, в которой определены понятия синодического, аномалистического и драконического лунных месяцев. Если эти термины существуют, а их продолжительность известна с точностью до нескольких знаков после запятой, сарос можно формально выделить среди других квазипериодов как наименьшее общее делимое всех четырех лунных месяцев.

• Из наблюдений солнечных затмений экспериментально мог быть обнаружен экселигмос, который обеспечивает самую высокую вероятность предсказания среди всех периодов, как для солнечных так и для лунных затмений.

1. А. Панненкук.   История Астрономии (под редакцией Б.В. Кукаркина и П.Г. Куликовского) // Наука, Москва 1966.
2. В.А. Бронштэн.   Как движется Луна? // Москва, Наука, 1990.
3. Б. Ван дер Ванден   Пробуждающая наука древности. // Москва, Физматлит, 1991, 382с.
4. Zhentao Xu, David W. Pankenier, Ya. Jiang   East Asian Archeoastronomy. Historical records of Astronomical Observations of China, Japan and Korea // Gordon and Breach Science Publishers, 2000.